\documentclass[12pt, a4paper, oneside]{ctexart}
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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学数学分析真题}}
\author{杨泽天}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\maketitle
\section*{2017年数学分析}

\begin{problem}
    求下列极限\\
    1) $\displaystyle \lim_{n\to +\infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$\\
    \newline
    2) $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}\cos{2x} \cdots \cos{nx}}{\sqrt{1+x^2}-1}$.  
\end{problem}

\begin{problem}
    设 $f(x)$ 在 $ [0,\pi]$ 上连续，并且 $\displaystyle \int_0^\pi f(x)\sin x \d x = \int_0^\pi f(x) \cos x \d x = 0$,
    则 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 内至少有两个零点. 
\end{problem}

\begin{problem}
    设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=f(1)$ ，证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $2f'(\xi)+ \xi f^n(\xi) = 0$. 
\end{problem}

\begin{problem}
    设 $\left\{ a_n \right\}$ 是单调递增的正数列，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }(1-\frac{a_n}{a_{n+1}})$ 收敛
    当且仅当 $\left\{ a_n \right\}$ 有界.
\end{problem}
\begin{problem}
    证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n x (x+n)^n}{n^{n+1}}$ 关于 $x$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛. 
\end{problem}

\begin{problem}
        设 $\Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1,z=2$ 所围立体 $V$ 的表面，取外侧，求
        $$ 
            I = \iint\limits_\Sigma \frac{e^z}{x^2+y^2}\d x \d y.
        $$
\end{problem}
\begin{problem}
    设 $u=\varphi(x+\psi(y)),\varphi,\psi$都具有二阶连续导数，求
    $$ 
    I = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
    $$
\end{problem}

\begin{problem}
    计算积分
    $$ 
        I = \iint\limits_D \sin {\left( x^2 \right)} \cos {\left( y^2 \right)} \d x \d y,
    $$
    其中 $D=\left\{ (x,y)\big| x^2+y^2\le 1 \right\}$ .
\end{problem}
\begin{problem}
    假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且不恒为常数，若 $f(a)=f(b) = \displaystyle\min_{x\in [a,b]}f(x)$，证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得
    $$ 
    \int_a^\xi f(t) \d t = (\xi -a ) f(\xi).
    $$ 
\end{problem}
\end{document}